L’évaporation d’un film liquide s’écoulant le long d’une paroi présente un grand intérêt pratique. Elle est rencontrée dans le refroidissement des aubes de turbines ou de composants électroniques, dans la concentration d’effluents ou le refroidissement de liquides. Dans ce contexte, plusieurs auteurs se sont intéressés au refroidissement de film par évaporation dans diverses configurations. Baumann et al. [1] ont proposé un modèle physique expliquant l’équilibre de phases des liquides binaires dans le cas d’un film constitué d’un mélange de benzène et de méthanol en configuration cylindrique adiabatique en présence d’un écoulement gazeux turbulent. Yan et al. [2] ont étudié le refroidissement par évaporation d’un film d’éthanol s’écoulant le long d’un canal vertical adiabatique en convection naturelle. Tsay et al. [3] ont mené une étude comparative numérique et expérimentale de refroidissement d’un film d’éthanol sur une plaque verticale en présence d’un écoulement gazeux en co-courant. Yan et al. [4], quant à eux, se sont intéressés au refroidissement d’un film d’eau ruisselant le long d’une plaque inclinée en présence d’un écoulement gazeux turbulent. Les travaux les plus récents sont ceux de Feddaoui et al. [5-7] qui ont étudié les transferts thermiques ayant lieu en cas d’évaporation d’un film d’eau en présence d’un écoulement gazeux en configuration cylindrique ou dans un canal vertical.
Ce travail constitue une contribution à l’étude des transferts de chaleur et de masse lors du refroidissement d’un film liquide de méthanol en présence d’un écoulement de gaz laminaire ruisselant sur la paroi interne d’un tube vertical. Une étude paramétrique de l’influence du débit liquide et du nombre de Reynolds gazeux sur l’évaporation du méthanol est effectuée, ainsi que l’influence de la température du film et de celle du gaz.
2. MODELISATION
Considérons un film liquide de méthanol s’écoulant sur la face interne d’un tube vertical de rayon R. l’épaisseur de la couche limite du liquide à l’entrée δ0 est donnée de manière à ce que l’écoulement du film soit laminaire. Un écoulement d’air laminaire à température et vitesse constante est introduit dans le tube dans le sens d’écoulement du film liquide. La paroi du tube est supposée isolée thermiquement. L’abscisse x est mesurée positivement dans le sens de l’écoulement à partir de l’entrée supérieure du tube.
Figure1. Représentation schématique du problème
Les hypothèses suivantes sont adoptées afin de simplifier les équations :
- Les écoulements sont bidimensionnels et axisymétriques ;
- L’interface gaz - liquide est en équilibre thermodynamique et il n’y a pas de dissolution du gaz dans le liquide;
- On suppose négligeables le rayonnement et les effets secondaires de Duffour et Soret.
- La dissipation d’énergie visqueuse et la tension superficielle du liquide sont considérées négligeables.
2.1 Equations gouvernantes
Les équations caractérisant les transferts de chaleur et de masse en tenant compte des hypothèses précitées dans les deux phases liquide et gazeuse sont comme suit :
Phase Liquide
Equation de continuité:
(1)
Equation de quantité de mouvement :
(2)
Equation de l’énergie :
(3)
Phase Gazeuse
Equation de continuité :
(4)
Equation de quantité de mouvement :
(5)
Equation de l’énergie :
(6)
Equation de diffusion :
(7)
Equations de conservation de la masse dans les deux phases :
(8)
(9)
Le flux massique échangé entre les deux phases est donné par la loi de Fick :
(10)
(11)
2.2. Conditions aux limites et à l’interface
Nous associons aux équations de transfert les conditions aux limites suivantes :
A l’entrée du tube 
:
; 
; 
; 
(12)
La vitesse du liquide à l’entrée du tube est
donnée sous forme de profil après résolution de l’équation de la quantité de
mouvement à ce niveau, 
.
Sur l’axe de symétrie
:
; 
; 
; 
(13)
Au niveau de la paroi
:
;
(14)
À l’interface
:
Continuité de la vitesse et de la température :
, 
(15)
Continuité de la contrainte de cisaillement :
(16)
Continuité du flux de chaleur :
(17)
Afin d’analyser l’influence des paramètres tels que le débit d’entrée de liquide, du nombre de Reynolds gazeux et de la température initiale du film sur les processus de transfert de chaleur et de masse, il est nécessaire de connaître certaines grandeurs telles que les nombres locaux de Nusselt liés au transfert de chaleur ainsi que le nombre de Sherwood lié au transfert de masse.
(18)
(19)
(20)
Les propriétés thermo physiques dans les deux phases sont considérées comme variables en fonction de la température et de la fraction massique. Les propriétés des deux phases ainsi que les corrélations pour les propriétés du mélange gazeux sont tirées à partir de [8] et [9].
3. RESOLUTION NUMERIQUE
Les équations qui régissent le transfert dans le tube forment un système aux dérivées partielles n’admettant pas une solution analytique. Elles sont résolues numériquement en utilisant une méthode aux différences finies implicite [10]. La méthode utilisée consiste a approcher les dérivées premières dans la direction axiale par une différence vers l’avant et par une différence centrée dans la direction radiale.
A l’interface gaz liquide, les conditions aux limites liés à la continuité de la contrainte de cisaillement et du flux de chaleur sont approchées par une différence vers l’avant d’ordre deux pour les dérivées partielles de la vitesse et la température et par une différence vers l’arrière à l’ordre deux dans le gaz.
Au niveau de l’axe de symétrie le problème de singularité est contourné par l’utilisation de la règle de l’Hôpital. Les systèmes d’équations obtenus après discrétisation peuvent être écrit sous forme de matrices tri diagonales. La résolution est alors assurée par l’algorithme de Thomas [11] pour l’inversion de matrices tri diagonales.
On utilise la méthode de Raithby et Schneider
[12] appropriée aux écoulements incompressibles pour la correction de
pression. Connaissant 
une solution temporaire est obtenue pour les
équations aux différences finies, une correction peut être obtenue en
utilisant une forme de la méthode de Newton. La vitesse temporaire est
corrigée en chaque point.
Le maillage utilisé n’est pas uniforme. Le pas à l’entrée et au niveau de l’interface est petit. La détermination du maillage optimal représentant un bon compromis entre la stabilité de calcul de l’algorithme de Thomas et une occupation mémoire acceptable a été effectuée. Les cas considérés pour cette optimisation sont donnés dans le tableau 1.
Tableau 1.
Comparaison du flux sensible
pour différents maillages, avec 
et Re= 2000.
|
I×J×K x/D |
201x81x61 |
101x81x31 |
101x61x31 |
81x61x21 |
81x31x21 |
|
3,60 |
166,60 |
167,53 |
168,07 |
176,98 |
178,92 |
|
10,12 |
90,36 |
90,82 |
91,20 |
94,78 |
95,98 |
|
26,95 |
44,03 |
44,65 |
44,90 |
45,52 |
46,24 |
|
57,89 |
20,28 |
20,71 |
20,86 |
20,53 |
20,97 |
|
80,75 |
12,18 |
12,58 |
12,69 |
13,01 |
13,36 |
|
100,00 |
7,44 |
8,00 |
8,10 |
8,08 |
8,37 |
Le tableau 1 donne pour un nombre fixé de sections de calcul suivant la direction axiale, la variation du flux sensible, en fonction du nombre de points choisis suivant la direction axiale I et radiale J dans le liquide et k dans le gaz. Le maillage 101×61×31 est adopté dans cette étude avec une erreur moyenne de 3%.
3.1. Validation du modèle
Afin de vérifier l’exactitude de la procédure numérique de calcul, nous avons comparé nos résultats avec ceux de Yan [13], dans le cas de l’évaporation d’un film d’eau dans un tube vertical. La figure 2 illustre les variations du nombre de Nusselt sensible local en fonction de l’abscisse x. On constate que l’accord est satisfaisant entre la présente étude et la simulation de Yan [13], puisque la différence ne dépasse pas 4%.
Figure 2.
Variation du nombre de Nusselt sensible 
le long du tube, pour 
3.2. Méthode de résolution
La méthode de résolution adoptée repose sur un calcul itératif ligne par ligne avec un balayage croisé.
Après introduction du débit liquide à l’entrée, du nombre de Reynolds gazeux et des conditions thermiques, la procédure de calcul est comme suit :
(1) on résout l’équation de quantité de
mouvement dans le film liquide à l’entrée du tube pour trouver 
.
(2) on donne pour chaque position axiale
et on résout les équations de mouvement dans le
liquide et le gaz pour trouver 
et 
.
(3) on intègre numériquement l’équation de
continuité dans le gaz pour trouver 
.
(4) on corrige la pression en utilisant la méthode de Raithby et Schneider [12] ; puis on corrige les vitesses.
(5) on résout les équations d’énergie dans le
liquide et le gaz pour trouver 
et 
.
(6) on résout l’équation de diffusion dans le
gaz pour trouver la fraction de vapeur 
(7) vérification de la conservation de la masse dans les deux phases selon les critères suivants :
(21)
(22)
S’ils ne sont pas vérifiés revenir en (2)
(8) vérification de la convergence de la vitesse, de la température et de la fraction massique. Si ceux-ci ne sont pas vérifiés, on répète les procédures à partir de (2).
4. RESULTATS ET DISCUSSIONS
L’intensité des transferts de chaleur et de masse lors de l’évaporation d’un film liquide constitué de méthanol pur est examinée. L’étude paramétrique effectuée a pour objectif de montrer l’effet de la variation du débit liquide, du nombre de Reynolds gazeux et de la température du film ainsi que celle du gaz sur les transferts de chaleur et de masse entre le film liquide et la phase gazeuse. Les conditions de simulation sont regroupées dans le tableau2.
Tableau 2. Les paramètres de simulation
|
Température d’entrée de méthanol, |
40 et 60 |
|
Débit d’entrée de méthanol, |
5,425 |
|
Température d’entrée du gaz, |
20-40-50- 60 |
|
Nombre de Reynolds, |
1000 et 2000 |
10 -4 et 1,075
Figure 3. Variation de la température à l’interface et à la paroi le long du tube.
En examinant l’allure des distributions des températures à la paroi et celles à l’interface liquide-gaz (figures 3) il ressort globalement que :
- Les températures à la paroi et à l’interface sont très voisines surtout quand on s’éloigne de l’entrée du tube. Ceci s’explique aisément par l’épaisseur faible du film.
- Les températures sont des fonctions décroissantes de la position axiale au niveau du tube. Cette baisse est occasionnée par le transfert de chaleur entre le liquide et le gaz. Ainsi, l’énergie contenue dans le liquide est partiellement évacuée par mode latent, ce qui conduit à l’abaissement de la température du film. En fait, ce sont les molécules les plus agitées du film liquide qui arrivent à vaincre les forces de Van Der Waals et s’échappent du liquide. Les molécules présentant une énergie cinétique moyenne plus basse restent à l’état liquide. Donc, l’évaporation entraîne un refroidissement du film puisque la température représente le niveau d’énergie cinétique des molécules.
L’étude paramétrique permet également de ressortir les constatations suivantes :
- La température et le débit du film à l’entrée du tube ont un effet incontestable sur la température du film liquide figure 3(a). Celle-ci est d’autant plus faible que la température initiale et le débit liquide sont plus bas. Ce résultat a été relevé par Tsay et al. [3] dans le cas de l’éthanol.
- La température du film liquide diminue avec l’augmentation du nombre de Reynolds gazeux. La figure 3(b) étant réalisé en régime laminaire on s’attend alors a un effet de Reynolds plus important en régime turbulent. Ce résultat est tout a fait prévisible puisque l’augmentation du nombre de Reynolds favoriserait théoriquement le transfert thermique.
Figure 4.
Variations du flux sensible 
(a)/ flux latent 
(b)/ flux total 
(c), pour 
et 
La diminution de la température du film liquide le long du tube a pour conséquence la réduction du flux sensible figure 4(a). Ceci est une conséquence directe de la définition du flux de chaleur transféré en mode sensible entre le film liquide et le gaz qui implique que lorsque le gradient de température entre les deux phases gaz et liquide devient faible alors le flux sensible devient plus faible. Comme on peut l’observer sur la figure 4(b), le flux de chaleur latent est positif, ce qui indique que le transfert de chaleur se fait du liquide vers le gaz. Ceci est bien confirmé par la courbe (figure 5(a)) représentant le flux massique évaporé. On relève sur ces deux figures que l’évaporation est plus intense à l’entrée du tube, ceci peut être expliqué par les transferts convectifs plus intenses dans cette région ce qui favorise l’évaporation.
Figure 5.
Variation du flux massique évaporé 
Globalement, Le flux de chaleur total transféré entre le film de méthanol et le gaz est plus important à l’entrée du tube figure 4(c). Le transfert par mode latent est le mode de transfert de chaleur dominant figures 4(a-c) surtout a grand débit. Ceci s’explique par le flux massique évaporé figure 5(a) qui est plus important quand le débit de liquide introduit dans le tube est grand. Tout comme la température initiale du film, le débit liquide influe sur le flux sensible. Ce dernier est d’autant plus important que la température et le débit liquide sont élevés figure 4(a). La température initiale du film affecte légèrement le transfert par mode latent figure 4(b). Par contre, on note un effet important du débit liquide à l’entrée du tube.
Comme le flux latent, Le flux massique évaporé figure 5(a) dépend fortement du débit liquide. Il est aussi peu sensible à la variation de la température du film. Le nombre de Reynolds gazeux affecte légèrement l’évaporation figure 5(b), le flux évaporé est légèrement plus important quand le Reynolds est faible.
Figure 6.
Variation de la température à l’interface (a)/
débit massique évaporé (b) / taux d’évaporation total cumulé 
(c), pour
, 
et
Dans l’objectif de mettre a jour l’effet de la température du gaz sur le refroidissement du film de méthanol par évaporation, nous avons tracé l’évolution de la température à l’interface (figure 6(a)). Nous avons aussi représenté les variations le flux massique évaporé (figure 6(b)) ainsi que la fraction massique évaporée à l’interface (figure 6(c)) en fonction de l’abscisse x. La température à l’interface diminue avec la composante axiale grâce a l’évaporation qui se maintient tout le long du tube 6(a). Cette diminution s’accentue avec la réduction de la température du gaz introduit dans le tube. La fraction évaporée ainsi que le flux massique évaporé du méthanol suivent la même tendance que la température à l’interface puisqu’ils sont de plus en plus importants quand la température du gaz augmente figures 6(b-c).
Finalement le refroidissement du film liquide est favorisé par une température du gaz faible. Dans ce cas, on relève que la fraction évaporée figure 6(c) quoique très faible (inférieure à 3 %) assure un bon refroidissement du film liquide.
5. CONCLUSION
Dans cet article nous proposons une analyse numérique bidimensionnelle du transfert de masse et de chaleur au travers un film mince liquide de méthanol s'écoulant le long d’un tube vertical. L'écoulement du film liquide a lieu en présence de l’évaporation en convection mixte. Cette analyse repose sur la résolution des équations couplées de transfert et de masse dans les deux phases liquide et gazeuse en utilisant une méthode aux différences finies de type implicite. Les résultats de cette étude montrent qu’un film de méthanol s’écoulant sur la paroi interne d’un tube vertical peut être refroidi par un jet d’air laminaire.
L’évaporation d’une faible portion de liquide se traduit par l’abaissement de la température du film constituant ainsi le mécanisme principal d’évacuation de l’énergie thermique contenue dans le film. La température du film continue à baisser le long du tube. Les faibles débits liquides et les basses températures initiales du liquide et du gaz améliorent l’efficacité de refroidissement. En revanche, l’évaporation partielle du film liquide est favorisée par un débit liquide important et une température à l’entrée du liquide élevée. Le nombre de Reynolds du gaz n’a aucune influence sur l’évaporation, par contre il est favorable au refroidissement du film de méthanol. Dans ces conditions un faible taux d’évaporation est suffisant pour assurer le refroidissement du film liquide.
REFERENCES
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[3] Tsay Y.L , Lin T.F. and Yan W.M., "Cooling of a falling liquid film through interfacial heat and mass transfer", Int journal of multiphase flow, 16, 853, (1990).
[4] Yan W.M., Soong C., "Numerical study of liquid film cooling in a turbulent gaz stream", Int Journal of heat and mass transfer, 36, 3877, (1993).
[5] Feddaoui M., Belahmidi E., Mir A., Bendou A., "Numerical study of the evaporative cooling of liquid film in laminar mixed convection tube flows", Int Journal of thermal sciences, 40, 1011, (2001).
[6] Feddaoui M., Mir A., Belahmidi E., "Numerical simulation of mixed convection heat and mass transfer with liquid film cooling along an insulated vertical channel", Heat and mass transfer, 39, 445, (2003).
[7] Feddaoui M., Meftah H., Mir A., "The numerical computation of the evaporative cooling of falling water film in turbulent mixed convection inside a vertical tube", Int Communication in heat and mass transfer, 33, 445, (2006).
[8] Reid R.C., Sherwood T.K., "the properties of gases and liquids", Mc Graw Hill, New York, (1958).
[9] Perry R.H., "Perry's Chemical Engineers", Handbook, Mc Graw-Hill, New York (1950).
[10] Ozisik M.N., "Finite difference methods in heat transfer", Hemisphere/Mc Graw-Hill, New York, (1984).
[11] Patankar S.V., "Numerical heat transfer and fluid flow", Hemisphere Mc Graw Hill, New York, (1980).
[12] Anderson D.A., Tannehill J.C., Pletcher R.H., "Computational fluid mechanics and heat transfer", Hemisphere/Mc Graw-Hill, New York, (1984).
[13] Yan W. M., "Binary diffusion and heat transfer in mixed convection pipe flows with film evaporation ", Int Journal of heat and mass transfer, 36, 2115, (1993).
NOMENCLATURE
